二元函數(shù)極值

　　考點(diǎn)1 極值存在的必要條件

　　設(shè)P?(x?,y?)為x=f(x,y)的極值點(diǎn)，且z=f(x,y)在P?(x?,y?)處的偏導(dǎo)存在，則必有fx(x?,y?)=0，fy(x?,y?)=0.

　　考點(diǎn)2 極值存在的充分條件

　　設(shè)函數(shù)x=f(x,y)在其駐點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令A(yù)=fxx(x?,y?)，B=fxy(x?,y?)，C=fyy(x?,y?)，△=B²-AC，于是有

　　1.如果△<0，則點(diǎn)(x?,y?)是函數(shù)的極值點(diǎn)，且

　　當(dāng)A<0時(shí)，f(x?,y?)是極大值;當(dāng)A>0時(shí)，f(x?,y?)是極小值.

　　2.如果△>0，則點(diǎn)(x?,y?)不是函數(shù)的極值點(diǎn).

　　3.如果△=0，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)有無極值不能確定，需用其他方法判別.

　　考點(diǎn)3 條件極值的求法

　　先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：F(x,y,λ)=f(x,y)+λ?(x,y).

　　求解方程組

　　Fx=fx(x,y)+λ?x(x,y)=0,

　　Fy=fy(x,y)+λ?y(x,y)=0,

　　Fλ=?(x,y)=0.

　　解出x,y,λ，則其中(x,y)就是z=f(x,y)在條件?(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).

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